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Eine Dissertation zur Problematik der Plattenabnutzung (1969)

Das sind die ergänzenden 3 Teile aus dieser Dissertation aus 1969 (sie beginnt hier), die natürlich nach 50 Jahren teilweise obsolet sind. Die Grundgedanken der wissenschaftlichen Herangehensweise an Verschleiß- Messungen und -Berechnungen gelten jedoch heute noch.

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2. Der Begriff der mechanischen Tonabnehmer-Impedanz

In der Elektrotechnik bezeichnet man das Verhältnis von Spannung zu Strom an einem Zweipol als Impedanz (Anmerkung : im oberflächlichen Sprachgebrauch auch Widerstand genannt - besser jedoch als Scheinwiderstand zu bezeichnen) dieses Zweipols.

Die durch diese beiden Größen definierte elektrische Impedanz ist im allgemeinen komplex, denn sie beschreibt den Quotienten aus Spannung und Strom nach Betrag und Phase, Formelmäßig kommt dies in Gl, (2.1) zum Ausdruck:

Formel (2.1)

worin CP den Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom bezeichnet. Das dazugehörige Schaltbild zeigt Bild 2.1.

Die komplexe Impedanz ist eine Kenngröße, die das Verhalten eines elektrischen Zweipols vollständig charakterisiert. Dieser Impedanzbegriff läßt sich auf einfache Weise in die Mechanik übertragen.

Er führt zur Definition einer komplexen mechanischen Impedanz "Z"mech, die ausgedrückt werden kann durch den Quotienten aus der Wechselkraft k und der Schnelle v (Gl. (2.2)):

Formel (2.2)

Diese mechanische Impedanz liefert ähnliche Angaben für das Verhalten eines mechanischen Systems wie sie die elektrische Impedanz für das Verhalten eines elektrischen Zweipols zu geben vermag. Es ist daher oft zweckmäßig, den Angriffspunkt einer Kraft in Analogie zu setzen mit den beiden Klemmen eines elektrischen Zweipols, denn die Verknüpfung zwischen Kraft und Schnelle einerseits und Spannung und Strom andererseits führen dann zu demselben Impedanzbegriff.

Analogien zwischen elektrischer und mechanischer Impedanz

Bemerkenswert ist indessen, daß mit Hilfe der mechanischen Impedanz - auch wenn sie abseits der elektromechanischen Analogien betrachtet wird - unmittelbar Lösungen für mechanische Problemstellungen gefunden werden können, die sonst nur über die Aufstellung der Bewegungsgleichungen zu erhalten wären.

So gibt die in Gl. (2.2) definierte mechanische Impedanz beispielsweise an, mit welcher Schnelle v sich ein mechanisches System bewegt, wenn an ihm eine Wechselkraft k wirkt; sie gibt weiterhin an, mit welcher Rückwirkungskraft ein mechanisches System auf eine erzwungene Schnelle antwortet.

Besondere Bedeutung hat der Begriff der mechanischen Impedanz, wenn man die Verknüpfung zwischen Kraft und Schnelle an einem Schallplatten-Tonabnehmer studieren will. Da die Impedanz bei von der Schallplattenrille vorgegebener Schnelle ein Maß ist für die von der Tonabnehmernadel auf die Rille ausgeübte Rückwirkungskraft, stellt sie die wichtigste Tonabnehmereigenschaft zur Beurteilung der Schallplattenabnutzung dar.

Je größer der Betrag der mechanischen Impedanz eines Tonabnehmers ist, umso größer wird bei vorgegebener Nadelschnelle die Schallplattenabnutzung aufgrund der Rückwirkungskräfte sein.

2.1 Die Bewegungsgleichung und Impedanz für ein vereinfachtes TonabnehmerSystem mit einem Freiheitsgrad

Nimmt man an, daß der Tonarm, in den das Tonabnehmersystem eingebaut ist, ein großes Massenträgheitsmoment bezüglich des Ruhepunktes der Nadel hat, und setzt man eine Tonarmlagerung mit sehr kleiner Reibung voraus, so darf man sich den festen Teil eines TonabnehmerSystems als absolut ruhend vorstellen.

Der bewegliche Teil eines Tonabnehmers (Nadelhalterung samt nadel) kann in einer Anordnung, wie sie Bild 2.2 zeigt, an den als ruhend angenommenen Teil angekoppelt sein.

Die Tonabnehmernadel ist (meist) über ein leichtes Aluminiumröhrchen mit dem Magneten verbunden, der sich aufgrund seiner weichen Lagerung zwischen den Polschuhen bewegen kann. Wenn man nur eine einzige Schwingungsrichtung der Nadel vorgibt (z.B. Seitenschrift, Tiefenschrift oder einkanalige Flankenschrift) und wenn die aus dem Aluminiumröhrchen bestehende Nadelhalterung sehr biegesteif ist, so darf die in Bild 2.2 dargestellte Anordnung als ein Schwingungssystem mit nur einem Freiheitsgrad angesehen werden.

Ein Ersatzschaltbild mit einem einzigen Freiheitsgrad

Infolgedessen ist es erlaubt, ein vereinfachtes Ersatzschaltbild für dieses Schwingungssystem aufzustellen, wie es in Bild 2.3 dargestellt wird.

Da es hier nur einen einzigen Freiheitsgrad gibt, reicht die Koordinate ?? zur Beschreibung des Systems aus; die Federung FD (reziproke Federkonstante) repräsentiert die Elastizität der Gummihalterung, der Dämpfungswiderstand Wn deren Dämpfung.

In dem Trägheitsmoment I ist die Massenträgheit des Magneten, des Röhrchens und der Nadel zusammengefaßt. Nach bekannten Prinzipien, z.B. /7/, läßt sich mit der Methode von d'Alembert für dieses Schwingungssystem die Bewegungsgleichung sofort angeben. Man braucht lediglich die Summe aller wirkenden Momente zu bilden und erhält daraus folgende Gleichung

Formel (2.3)
bzw.
Formel (2.3a)

Hierin ist Mz das am Ort der Nadel wirkende Zwangsmoment, welches ein Maß ist für die auf die Plattenrille wirkende Rückwirkungskraft.

Ein translatorisches Ersatzschaltbild

Will man nun von der Darstellung der Bewegung mittels der Winkelkoordinate ?? abgehen, so ist es zweckmäßig, das in Bild 2.3 gezeigte Ersatzschaltbild in ein translatorisches Ersatzschaltbild umzuwandeln; es entsteht dann ein Ersatzschaltbild, wie es in Bild 2.4 gezeichnet ist.

Dabei ist die Winkelkoordinate ?? in die Auslenkungskoordinate x übergegangen, aus dem Trägheitsmoment I wurde die Masse M und die Drehfederung FD und Drehdämpfung WD wurde durch eine translatorische Federung F und Dämpfung W ersetzt. Das Zwangsmoment M schließlich geht über in eine Zwangskraft Kz. Aus der Gl. (2.3a) wird dann eine Bewegungsgleichung, die eine translatorische Koordinate x zur Beschreibung benutzt. Sie lautet

Formel (2.4)
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Worin besteht der Vorteil von translatorischen Bewegungen

Vorteilhaft für das hier betrachtete Beispiel ist diese Transformation von Winkelbewegungen in translatorische Bewegungen deswegen, weil bei einem Tonabnehmersystem, das eine Schallplatte abtastet, nicht die Winkel vorgegeben werden, welche die Nadelbewegungen kennzeichnen, sondern die dazugehörigen translatorischen Auslenkungen.

Überdies sind die Auslenkungen der Tonabnehmernadel bzw. die Winkeländerungen der Nadelhalterung so klein, daß man die Winkel durch die dazugehörigen Sehnen oder Tangenten ersetzen kann. Insofern besteht also auch eine physikalische Berechtigung für die Transformation von Bild 2.3 in Bild 2.4 bzw. von Gl. (2.3a) in Gl. (2.4).

Bedenkt man, daß die Zwangskraft Kz durch eine Zwangsbewegung x(t) entsteht, so läßt sich Gl. (2.4) auf einfache Weise in eine andere Form bringen, aus der dann die Impedanz des mechanischen Systems berechnet werden kann.

Und das kann man alles berechnen

Wenn man eine harmonische Auslenkung der Nadel vorgibt, so ergibt sich daraus eine Zwangsführung x(t) in der Form

Formel (2.5)

wobei x die Amplitude der Schwingung angibt, oder, komplex dargestellt

Formel (2.5a)

(Die komplexen Größen x und x sind durch einen Strich unter dem Formelzeichen gekennzeichnet.)

Setzt man nur Gl. (2.5a) und die daraus gebildeten zeitlichen Ableitungen x und x in die Bewegungsgleichung (Gl. (2.4)) ein und dividiert man beide Seiten durch die Zwangsgeschwindigkeit x, so erhält man daraus die durch Gl. (2.2) definierte komplexe mechanische Impedanz. Es ist nämlich

Formel (2.6)
und weiter
Formel (2.7)

Das Ziel war die Bewegungsgleichung

Dies ist die komplexe Impedanz eines mechanischen Parallelkreises laut Bild 2.4, die man eigentlich auch ohne Rechnung sofort hätte angeben können.

Es sollte jedoch anhand dieses Beispiels dargelegt werden, wie die Bewegungsgleichung und die Impedanz eines mechanischen Systems miteinander zusammenhängen; die mechanische Impedanz kann also als eine spezielle Schreibweise der harmonischen Lösung der Bewegungsgleichung aufgefaßt werden.

Sie ermöglicht es, das Verhalten eines mechanischen Systems durch eine einzige systemeigene Größe (eine Art Apparatekonstante, die allerdings komplex und frequenzabhängig ist,) zu beschreiben. Genauso erfolgt in der Elektrotechnik die Kennzeichnung von Zweipolen, so daß der Elektrotechniker zur Beschreibung von Netzwerken, die aus Zweipolen gebildet sind, nicht mehr mit Differentialgleichungen operiert, sondern auch im vorliegenden Falle das Arbeiten mit komplexen Impedanzen vorzieht.

2.2 Die Bewegungsgleichungen für ein reales Tonabnehmersystem mit zwei Freiheitsgraden

Die im vorangegangenen Abschnitt aufgestellte Bewegungsgleichung und die daraus hergeleitete Impedanz beschreiben ein reales TonabnehmerSystem nur näherungsweise, da eine Bewegung mit nur einem Freiheitsgrad vorausgesetzt war.

Indessen ist diese Näherung bei modernen Tonabnehmersystemen sehr gut vertretbar, wie man anhand von Messungen, die in Abschn. 3.4 angeführt sind, erkennen kann.

Will man jedoch zu einer besseren Näherung übergehen, so wird man dazu zunächst ein Ersatzsystem mit zwei Freiheitsgraden benutzen. Eine solche zweite Näherung sei wiederum anhand des in Bild 2.2 dargestellten Tonabnehmersystems betrachtet.

Wenn das lange Aluminiumröhrchen nicht unendlich stabil ist

Physikalisch geht diese Näherung davon aus, daß aufgrund der endlichen Elastizität des Aluminiumröhrchens voneinander abweichende Bewegungen des Magneten und der Nadel möglich sind.

Ein solches Verhalten kann schematisch durch ein Gelenk charakterisiert werden, das in der Lage ist, mittels einer Drehfederung Momente zu übertragen. Demnach müßte ein Ersatzschaltbild für Bewegungen mit zwei Freiheitsgraden folgendermaßen aussehen (Bild 2.5).

Die Winkelkoordinaten w1 und w2 beschreiben die (unterschiedliche) Bewegung des Magneten und der Tonabnehmernadel. Durch das Trägheitsmoment I wird im wesentlichen das Trägheitsmoment des Magneten bezüglich des Drehpunktes A erfaßt, während I2 das Trägheitsmoment des Röhrchens mit der daran befestigten Nadel bezüglich des Drehpunktes B kennzeichnet. Die Federung FD, und die Dämpfung Wd1 sind identisch mit den in Bild 2.3 gezeichneten Größen F und Wn, welche auch hier die Eigenschaften der gummielastischen Befestigung des Magneten charakterisieren.

Die Federung F - schließlich beschreibt die Durchbiegung des Aluminiumröhrchens.

Mit diesen Angaben sollen nun die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art hergeleitet werden. Dies ist auch dann noch möglich, wenn Zwangskräfte vorhanden sind, denn diese können mittels des sogenannten A-Multiplikators in die Lagrangeschen Gleichungen eingefügt werden (C. Lanczos /8/).

Die allgemeinste Form der Lagrangeschen Gleichungen für die hier benötigten Herleitungen mit einer Bindungsgleichung lautet dann:

Formel (2.8)

Verweis auf die Akustik- Vertauschen der Ersatzschaltbilder

In der Akustik hat es sich als sehr zweckmäßig erwiesen, mechanische Probleme anhand elektrischer Ersatzschaltbilder zu diskutieren. Wendet man diese Praxis auf die in Bild 2.6 dargestellte mechanische Impedanz eines Tonabnehmersystems an, so erhält man bei Benutzung der Analogie I (siehe z.B. /9/) die in Bild 2.7 aufgezeichnete elektrische Schaltung.

Bei der hier angewendeten Analogie gelten die in Tabelle 2.2 aufgezählten Entsprechungen mechanischer und elektrischer Größen.

Die Schaltungsarten, mit denen mechanische oder elektrische Widerstände untereinander verknüpft sind, vertauschen sich beim Übergang vom mechanischen Ersatzschaltbild in ein entsprechendes elektrisches Ersatzschaltbild und umgekehrt: eine mechanische Parallelschaltung geht über in eine elektrische Serienschaltung, eine mechanische Serienschaltung in eine elektrische Parallelschaltung und umgekehrt.
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Ein Blick auf den neuen Überblick

Anhand von Bild 2.7 lassen sich nunmehr die mechanischen Eigenschaften des betrachteten Tonabnehmersystems leicht überblicken. So findet man beispielsweise in L1, C1, und R, die Größen wieder, welche die Massenträgheit des Magneten und die Federungs- und Dämpfungseigenschaften der Gummihalterung repräsentieren.

Die durch diese Elemente gegebene mechanische Parallelresonanz liegt im allgemeinen innerhalb des zu übertragenden Frequenzbereiches und zwar meist in dem Bereich um 1.000 Hz. Die Größe des Kondensators C2 entscheidet unter anderem darüber, ob das System im interessierenden Frequenzbereich überhaupt als System mit zwei Freiheitsgraden angesehen werden muß.

Ist beispielsweise die Kapazität C2 sehr klein - was bedeutet, daß die Federung F sehr klein ist und das Aluminiumröhrchen sich also praktisch nicht durchbiegt, so fließt durch den Blindwiderstand praktisch kein Strom mehr.

Der Gesamtstrom i fließt dann durch die Serienschaltung aus L1, C1, und R1, und durch die Induktivität L2, welche die Massenträgheit der Nadel und angekoppelten Nadelhalterung ersetzt.

Aus der Tatsache heraus, daß für den Blindwiderstand keine Stromverzweigung mehr vorhanden ist, kann man für den mechanischen Sachverhalt folgern, daß für diesen Fall das System nur in einem einzigen Freiheitsgrad schwingt, denn es wird nur noch eine einzige Schnelle (entsprechend dem Strom i) zur Beschreibung der Systembewegung erforderlich.

In diesem Fall darf man also das Trägheitsmoment der Nadel und ihrer Halterung zu dem Trägheitsmoment des Magneten addieren, was im elektrischen Ersatzschaltbild durch Addition der Induktivitäten L1 und L2 geschieht.

Diese Annahmen sind durchaus realistisch, denn die Federsteife des Aluminiumröhrchens ist im allgemeinen so groß, daß der entsprechende kapazitive Widerstand (der Blindwiderstand) selbst für hohe Frequenzen noch groß gegen jwL1 und jwL2 ist.

Eingeschränkte Bedingungen für den Tonabnehmeraufbau

Die in diesem Abschnitt beleuchteten mechanischen Eigenschaften eines Tonabnehmersystems mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung sind zunächst nur für einen speziellen Tonabnehmeraufbau hergeleitet und diskutiert worden (siehe Bild 2.2).

Um zu zeigen, daß diese Überlegungen nicht nur für dieses spezielle System allein gelten, seien noch zwei weitere Tonabnehmer mit grundlegend anderem Aufbau betrachtet:

Bild 2.8 zeigt ein elektro-magnetisches Tonabnehmersystem, das ebenfalls nur dann zwei Freiheitsgrade der Bewegung oder mehr aufweist, wenn die Biegesteife des zwischen dem Magnetanker und der Nadel N angeordneten Röhrchens R nicht groß genug gegen die Steife des Gummipfropfens Pf ist.

In Bild 2.9 ist weiterhin die mechanische Halterung eines elektro-dynamischen Systems aufgezeichnet, auch hier wurde von der Konstruktion her die Absicht verfolgt, eine Schwingungsform des beweglichen Teils zu erzielen, die in einer Bewegung mit nur einem Freiheitsgrad besteht.

Aus den Bildern 2.8 und 2.9 ersieht man, daß die Beschreibung unterschiedlicher Nadelhalterungen unter der Benutzung desselben Modells möglich ist (siehe Bild 2.5); es ist sogar festzustellen, daß die in diesem Abschnitt praktizierte Verfeinerung des Ersatzschaltbildes durch die Einführung eines zweiten Freiheitsgrades in den betrachteten Fällen gar nicht erforderlich war.

Das bedeutet, daß für Tonabnehmersysteme, welche die soeben angeführten Konstruktionsmerkmale aufweisen, sogar die erste Näherung der Impedanz laut Abschnitt 2.1 ausreicht. Experimentelle Untersuchungen werden diese Behauptungen noch zu untermauern haben.

Das piezo-elektrischen Tonabnehmersystem wid übergangen

... denn das kommt nach dem Jahr 2000 nicht mehr vor.
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2.3 Komplettes Ersatzschaltbild für die mechanische Rillenabtastung (einschl. Tonarm)

Von der bisherigen Diskussion waren mechanische Eigenschaften ausgenommen, die weniger zur Impedanz des Tonabnehmers selbst zählen, welche im Rahmen dieser Arbeit zur Diskussion steht, als vielmehr zur Impedanz des gesamten Abtastmechanismus.

So wurde zum Beispiel das Trägheitsmoment des Tonarmes als unendlich groß angenommen, was in allen schematischen Darstellungen durch eine Ankopplung der beweglichen Teile des Tonabnehmers an eine massive feste Wand zum Ausdruck kam.

Weiterhin wurde nicht berücksichtigt, daß beim Abtastvorgang die endliche Elastizität des Schallplattenmaterials und der Tonabnehmernade1 selbst in die Impedanz des Abtastmechanismus eingeht.

Läßt man diese bisherigen Vernachlässigungen fallen, um die Abtastimpedanz im Gesamten zu beschreiben, so ergibt sich nunmehr das folgende mechanische Ersatzschaltbild (Bild 2.11).

Die neu hinzugekommene Masse M verkörpert hier die Massenträgheit des Tonarmes, die zusätzliche Federung F3 bringt den Einfluß der Elastizität des Schallplattenmaterials und der Tonabnehmernadel zum Ausdruck. Das analoge elektrische Ersatzschaltbild ist in Bild 2.12 aufgezeichnet.
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Die neuen Einflüsse im Frequenzbereich zwischen 50Hz und 10kHz

Nachdem nun auch die Einflüsse des Tonarmes und des Schallplattenmaterials in die Betrachtungen der Tonabnehmerimpedanz einbezogen worden sind, soll abgeschätzt werden, ob diese Einflüsse in einem Frequenzbereich zwischen 50Hz und 10kHz überhaupt Beachtung finden müssen.

Unter Anwendung des Ersatzschaltbildes laut Bild 2.12 und der dazugehörigen Tabelle 2.3 lassen sich anhand von zahlenmäßigen Angaben von Anderson, Kogen und Samson /12/ Aussagen über die Wirkung von C3 und L machen. Dazu möge Bild 2.13 betrachtet werden; hier sind die Schaltelemente entsprechend den Angaben aus /12/ quantitativ vorgegeben.

Die Induktivität L repräsentiert die Massenträgheit des Tonarmes, die mit einer Ersatzmasse von 20g angenommen wurde. Betrachtet man zunächst einmal hohe Frequenzen im Bereich um 10kHz, so kann man leicht ausrechnen, daß unterhalb von 10kHz der Betrag des kapazitiven Widerstandes 1/jwC3 groß ist gegen den Betrag des dazu parallel geschalteten Gesamtwiderstandes.

Daraus folgt, daß für Frequenzen, die unterhalb von 10kHz liegen, der Einfluß der Kapazität C3 vernachlässigt werden kann.

Der Einfluß auf die tiefen Frequenzen

Auf ähnliche Art und Weise läßt sich die Wirkung von L auf die Gesamtimpedanz bei tiefen Frequenzen abschätzen: Für die angegebene Ersatzmasse von 20g erhält man bei einer Frequenz von 50Hz einen Massenwiderstand, dessen Betrag groß ist gegen den Betrag der dazu parallel liegenden Serienschaltung aus C1 und R1.

Das bedeutet, daß die Massenträgheit des Tonarmes, die in dem Massenwiderstand jwL zum Ausdruck kommt, bei Frequenzen oberhalb 50 Hz ohne Einfluß auf die Tonabnehmerimpedanz ist.

Faßt man diese beiden Abschätzungen zusammen, so kann man daraus folgern, daß bei Frequenzen zwischen 50Hz und 10kHz kein ins Gewicht fallender Einfluß der Eigenschaften des Schallplattenmaterials oder des Tonarmes zu befürchten ist.

Innerhalb dieses Frequenzbereiches darf daher die Impedanz des Tonabnehmers mit der Impedanz des gesamten Abtastmechanismus gleichgesetzt werden. (Alle in dieser Arbeit angeführten Meßwerte liegen innerhalb dieses Frequenzbereiches.)

Es ist also weiterhin erlaubt, die Tonabnehmerimpedanz so zu beschreiben, wie es in den Abschnitten 2.1 und 2.2 ausführlich dargelegt wurde. Neuere Messungen an magnetischen Tonabnehmern bestätigen sogar, daß die Darstellung der Tonabnehmerimpedanz als mechanischer Parallelkreis laut Abschnitt 2.1 zur Beschreibung der Tonabnehmereigenschaften in dem betrachteten Frequenzbereich völlig ausreicht.

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