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stereoplay Kompendium 1988 - "Grundlagen der HiFi-Technik"
Es müsste aber "Grundlagen der Leitungstheorie" heißen.

von Gert Redlich im Januar 2014 - Unter der Chefredaktion von Karl Breh wurden ab 1984 bis etwa 1988 in jede Ausgabe der stereoplay so ziemlich in der Mitte blaue Seiten mit Grundlagen-Wissen eingeklebt. Diese Seiten wurde später nach Abschluß der ganzen Artikel in einem Kompendium zusammengefaßt. Nach meiner Meinung sind diese Artikel hier nicht Hifi spezifisch, sondern allgemeine akustische und elektrische Grundlagen. Einige Artikel verlangen Ihre volle Aufmerksamkeit und gezieltes "Verstehen Wollen" für diese hochkomplexe Materie. Die einzelnen Verfasser haben sich dennoch bemüht, immer wieder mit plausiblen Beispielen nachzuhelfen. Der Inhalt des Kompendiums steht hier.

Über die theoretischen Grundlagen der "Leitungstheorie" -
Anmerkung zur Einleitung und zum Verstehen :

Dies sind 3 hochtechnische Artikel über die Ausbreitung von Wellen bzw. elektrischen Strömen in Leitungen/Kabeln, die nahezu an die (damals ungeliebten) Physik-Vorlesungen an Hochschulen erinnern. Diese Vorlesungen waren immer "recht trocken" und langweilig. Die Wissensvoraussetzungen sind nämlich recht hoch, sodaß der geneigte Leser sich durchaus trauen sollte, ganze Absätze, die er nicht um jeden Preis verstehen muß, zu überspringen.
Am Ende des dritten Artikels kommt im Schlußbereich das eigentlich verwertbare Ergebnis - und natürlich in unseren "Anmerkungen".

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Grundlagen der HiFi-Technik XLIV (44)
Die "Entmystifizierung" des Kabels (Teil 2) aus 1988

von Horst Kiesewetter in 1988 - überarbeitet in 2014 von Gert Redlich
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2. Die Fingerabdrücke

Beim letztem Mal beleuchteten wir einige (theoretische) primäre Ursachen für das mangelhafte Frequenzverhalten von realen Kabeln. Nachfolgend sollen nun die elektrischen Grundbausteine einer Leitung beschrieben werden, um daraus Aussagemöglichkeiten für das (theoretische) Übertragungsverhalten herzuleiten.

Leitungsparameter - die Fingerabdrücke eines Kabels

(Anmerkung : Parameter sind die diversen Eigenschaften)

Der einfachste, aber auch unvermeidlichste und zahlenmäßig größte Parameter wurde bereits mehrmals genannt: Der Widerstand R; Benennung Ohm. Er wirkt in Längsrichtung (seriell zur Last) und wird bei am Ende kurzgeschlossener Leitung von der Eingangsseite her gemessen, so wie er sich an den Klemmen eines Geräteausgangs zur Last addiert. Das heißt, der Widerstand wirkt in der Hin- und Rückleitung und ist so groß wie die Summe der Widerstände der einzelnen Leiter; er wird bei dieser Betrachtung Schleifenwiderstand genannt.

Der Widerstand als Wertmaßstab reicht nicht

Einige Kabelanbieter geben jedoch in bewußter Irreführung des Kunden nur den Widerstand eines Leiters an, um bei Prospektvergleichen besonders niedrige Werte vorzutäuschen. Sie wissen dabei sehr wohl, daß der Laie die niedrigen Leitungswiderstände mit einfachen Ohmmetern kaum reproduzierbar nachmessen kann - es sei denn bei entsprechend großen Längen, weil die Meßauflösung, der Widerstand der Meßleitung und der Kontaktübergangswiderstand bereits in der Größenordnung des zu messenden Wertes liegen. Überdies ist der Widerstand auch noch temperaturabhängig und sollte bei 20° Celsius angegeben werden. Eine Temperaturabweichung von ±10°C bewirkt bei Kupfer eine Widerstandsänderung von etwa 4 Prozent.

Der Widerstand muß schon etwas genauer benannt werden

Der Widerstand ist wie alle anderen Leitungsparameter frequenzabhängig (Abbildung 6, siehe auch Skin-Effekt). Die zu messenden Gleichstrom- Schleifenwiderstandswerte bewegen sich von unter 5 bis zu einigen -zig Milliohm bei Lautsprecherkabeln, beziehungsweise bis zu einigen hundert Milliohm bei Kleinsignalkabeln pro Meter. Der auf die Einheitslänge bezogene Widerstandwert wird als Widerstandsbelag bezeichnet und mit dem gestrichenen Symbol R' (Benennnung: Ohm/m) abgekürzt. In der Fernmeldetechnik beziehen sich die Beläge der Leitungsparameter auf die Einheitslänge 1km, während wir hier die Einheitslänge von 1m wählen.

Die Ableitung

Eng verwandt mit dem Widerstand ist die Ableitung G. Sie ist der Kehrwert des zwischen Hin- und Rückleitung eines Kabels wirksamen Querwiderstandes (parallel zur Last). Dieser resultiert aus einem endlichen Isolationswiderstand und dielektrischen Verlusten durch Aufladung des Isoliermaterials. Gemessen wird die Ableitung bei leerlaufendem (offenem) Leitungsende; die Benennung ist 1/Ohm = S (Siemens).

Von allen Leitungsparametern ist die Ableitung weitaus am stärksten frequenzabhängig: Verhältnisse von 1:1000 und mehr zwischen 20Hz und 20kHz sind üblich (Abb. 7).

Die Ableitung hängt mit dem Frequenzverlauf zusammen

Der Frequenzverlauf ist nahezu exponentiell. Dennoch ist die Ableitung bei Kabeln unter Verwendung moderner Isoliermaterialien oft so niedrig, daß sie nur mit allergrößten Schwierigkeiten meßtechnisch einwandfrei bestimmt werden kann, so z.B. beim "RG214" oder Postkabel "liKx". Sie ist auch stärker temperaturabhängig als der Längswiderstand (eine Temperaturabweichung von ±10°C kann eine Änderung der Ableitung von bis zu 60 Prozent bewirken!) und darüber hinaus auch von mechanischen Beanspruchungen, wie Druck durch Biegen, Knicken oder Quetschen, beeinflußt.

Der Ableitungsbelag wird mit G1 (Benennung: S/m) abgekürzt und bewegt sich normalerweise in der Größenordnung (uS/m bis weniger als nS/m, was einem Isolationswiderstand von Megaohm bis zu mehreren Gigaohm mal Meter entspricht.

Dennoch: die Ableitung ist nicht "Null"

Diese geringe Größe der Ableitung verleitet jedoch dazu, sie häufig bei theoretischen Betrachtungen der Einfachheit halber gleich Null zu setzen - ein folgenschwerer Fehler: Da wir es bei der Realisierung von Kabeln immer mit verlustbehafteten Leitungen zu tun haben, ist - wie später noch gezeigt werden wird - ohne Einbeziehung der Ableitung in die Betrachtung die angestrebte verzerrungsfreie Leitung im NF-Bereich nicht zu verwirklichen. Die bedingte oder künstliche Erhöhung der Ableitung erweist sich im Gegenteil sogar als praktikables Mittel, ein nicht perfektes Kabel zu optimieren.

Die äußere Induktivität eines Kables

Die Induktivität L hat ihre Ursache im Fließen von Strom innerhalb eines Magnetfeldes. Es wird zunächst vom Stromfluß in der Hin-und Rückleitung eines Kabels selbst verursacht, abhängig hauptsächlich von der geometrischen Anordnung der Leiter zueinander und der daraus resultierenden Wechselwirkung.

Doch auch fremde äußere Magnetfelder, in erster Linie das Erdmagnetfeld oder Streufelder von Leitungsnetzen, Netzteilen, Motoren sowie das Vorhandensein von magnetisierbaren Materialien wie Eisenträgern, verstärken die Induktivität. Sie wird also durch Wechselwirkung im Raum außerhalb des stromführenden Leiters verursacht und deshalb als äußere Induktivität bezeichnet.

Die innere Induktivität

Aber auch im Leiterinneren existiert ein Magnetfeld, primäre Ursache für Wirbelströme, die auch den Skin-Effekt bewirken, dessen Folge die sogenannte innere Induktivität ist. Bei Kabeln mit ausgeprägtem Skin-Effekt nimmt deshalb, infolge des Anteils der inneren Induktivität an der Gesamtinduktivität, bei höheren Frequenzen die Induktivität wieder ab (vergleiche Abb. 6 und 8).

Die Induktivität wird, ebenso wie der Widerstand, bei kurzgeschlossenem Leitungsende bestimmt und entsprechend der seriellen Wirkungsweise auch Längsinduktivität genannt. Sie kann deshalb auch in der Messung gemeinsam mit dem Widerstand ermittelt werden, da sie zum imaginären oder reaktiven beziehungsweise Blindanteil an der Kurzschlußimpedanz beiträgt, wogegen der Widerstand den reellen oder Wirkanteil verkörpert:


Kurzschlußimpedanz
formel
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wobei die Induktivität mit L bezeichnet wird und die Bezeichnung H (Henry) hat. Der bei Kabeln meßbare Induktivitätsbelag L' bewegt sich im Bereich von 0,1uH/m bis über 1uH/m und ist dabei deutlich weniger frequenzabhängig als der Widerstands- oder der Ableitungsbelag (Abb. 8).

Im wesentlichen bestimmen die geometrische Form und Lage der beiden Leiter zueinander die Induktivität. Durch Verdrillen läßt sich der Induktivitätsbelag verringern, wogegen er sich durch Vergrößern des Leiterabstandes erhöht. Die erreichbare, theoretisch mögliche untere Grenze ist durch die innere Induktivität mit 0,05uH/m vorgegeben.

Die Kapazität

Der letzte Leitungsparameter schließlich ist die Kapazität C. Im Gegensatz zur Induktivität hat die Kapazität ihre Ursache nicht in einem elektromagnetischen, sondern in einem elektrostatischen Feld, das durch die Polaritätsdifferenz der beiden Leiter hervorgerufen wird und deshalb auch ohne Stromfluß vorhanden ist. Sie wird wie die Ableitung bei offenem Leitungsende gemessen und ihrer Wirkungsweise zufolge auch Parallelkapazität genannt. Durch Messung der Leerlaufadmittanz kann die Kapazität daher gleichzeitig mit der Ableitung bestimmt werden und trägt zum imaginären oder Blindanteil an der Gesamtadmittanz bei:


Leerlaufadmittanz  Formel Y = G + j2rcfC.

Der Kapazitätsbelag

Die Benennung der Kapazität C ist F (Farad), und F/m ist die des Kapazitätsbelags C'. Praktische Meßwerte des Kapazitätsbelags liegen üblicherweise in der Größenordnung pF/m bis nF/m (Abb. 9). Ebenso wie die Ableitung ist die Kapazität außer von der Frequenz auch von der Temperatur und der mechanischen Beanspruchung des Kabels abhängig. Maßgebend für die Größe der Kapazität ist wiederum die Geometrie der Leitungen und ihre Anordnung zueinander und außerdem die relative Dielektrizitätskonstante des dazwischen befindlichen Isoliermaterials. Dabei ist die Kapazität um so höher, je größer die einander gegenüberliegende Leiteroberfläche, je kleiner der Abstand dieser Flächen zueinander und je größer die relative Dielektrizitätskonstante epsilon des Zwischenmediums ist.

Für Koaxialkabel gilt zum Beispiel:

Formel

mit d = Außendurchmesser des Innenleiters und D = Innendurchmesser der Abschirmung. Auch für die Kapazität gibt es ein theoretisch nicht zu unterschreitendes Minimum von ca. 7pF/m, da jeder Leiter gegenüber Erde eine Kapazität aufweist.

Induktivität und Kapazität sind theoretisch gegenläufig

Ein Vergleich mit der Induktivität zeigt, daß die einflußnehmenden Kriterien bei der Kapazität genau gegenläufig sind: Vergrößern des Leiterabstandes verringert die Kapazität und erhöht die Induktivität. Das bedeutet allgemein, daß Maßnahmen zur Reduzierung bei Kapazität und Induktivität reziproke Wirkung zeigen. Bei hinreichend hohen Frequenzen gilt sogar strenggenommen: Das Produkt aus Induktivität mal Kapazität ist konstant.

Jetzt wird es extrem hochtechnisch !!!

Zusammenfassend läßt sich nun mit Hilfe der Leitungsbeläge das in Abb. 10 gezeigte Ersatzschaltbild einer Leitung aufzeichnen. Besonders sei betont, daß die Ersatzschaltung nur ein Vorstellungsmodell ist: Seine Elemente darf man nicht als reale Bauteile eines Netzwerkes auffassen. Das Arbeiten mit einem Modell ist in der Physik üblich und so lange zulässig, als die mit seiner Hilfe hergeleiteten Aussagen mit übergeordneten anderen Betrachtungsweisen und Methoden harmonisieren und keine Widersprüche auftreten.

So sind zum Beispiel die aus den Leitungsparametern gewonnenen Aussagen über die Amplitudendämpfung oder die Laufzeit identisch mit dem Ergebnis aus aufwendigen Direktmessungen. Auch wegen der mehr oder minder deutlichen Frequenzabhängigkeit der Leitungsparameter können die Elemente des Ersatzschaltbildes nicht als für alle Frequenzen geltende Bauteile gesehen werden: Für jede Frequenz wären andere Werte notwendig. Ebenfalls aus diesem Grund sind übliche Prospektangaben irgendeines Parameters, gewöhnlich bei 1kHz gemessen, unbrauchbar und können höchstens einer oberflächlichen Trendaussage dienen.

Die anerkannte Leitungstheorie beweist den Grundsatz:

Die vier Leitungsparameter Widerstand, Ableitung, Induktivität und Kapazität bestimmen das elektrische Verhalten einer Übertragungsleitung vollkommen. Sämtliche Aussagen über das Übertragungsverhalten von Kabeln sind aus den Leitungsparametern ableitbar.

Dieser Grundsatz der Leitungstheorie klingt in seiner Einfachheit und Pauschalität wie Hohn für die vielen hochtrabenden „Philosophien" und stellt sie teilweise in Frage. Gleichzeitig birgt er doch die Hoffnung, das „richtige" Kabel high-endlich zu finden.

Welcher Leitungsparameter ist der „Drahtzieher" des Mißklangs?

Bei der kriminalistischen Suche nach den klanglichen Missetätern konnte also bis hierher der Kreis der Verdächtigen auf vier handelnde Parameter eingegrenzt werden. Doch welcher von diesen ist nun der schlimmste Unhold und sollte als Feind Nr. 1 bekämpft werden?

Der Kampf gegen die Physik (1)

Nachdem in der HiFi-Kabelszene der vergangenen Jahre zuerst der Gleichstromwiderstand mit wahrlichen Kupferbergwerken bekämpft wurde, der Widerstand daraufhin in den Untergrund ging und dennoch die erhofften klangfriedlichen Kabelzeiten nicht anbrachen, zog die Kapazität den Unmut des Publikums auf sich.

Mit überdimensionalen Stegleitungen, Koaxialkabeln großen Außendurchmessers und modernsten Dielektrika bis hin zur reinsten deutschen Industrieluft wurde die Kapazität in die Ecke getrieben und niedergemacht. Erstaunt stellte man jedoch fest, daß paradiesische Kabelklangzustände noch in ebenso weiter Ferne waren wie vorher - lediglich die Verwirrung war größer.

Hatte man etwas übersehen?

Da muß also doch etwas dran sein am Gerede um den Skin-Effekt? Oder liegts am Kupfer: OFC oder LC-OFHC oder H-OCOPOC-US? - Die Induktivität! Die muß schuld sein am "Kabelklangdesaster" ! Also wird ihr mit vielfach überkreuz gemoppelter unlösbarer Spezialverseilung auf den Leib gerückt.

Doch oh weh! Die mühsam gebändigte Kapazität nutzt die Gelegenheit und bläht sich wieder bedrohlich auf. - Großes Rätselraten!

Man könnte es "Bandenunwesen " nennen

Spätestens zu diesem Zeitpunkt müßte jeder Hobbydetektiv kombinieren, daß es sich bei den Leitungsparametern nur um einen Fall von bestens organisiertem Bandenunwesen mit genau verteilten Zuständigkeiten handeln kann: Jeder einzelne Parameter trägt seinen Teil zum Miß- oder Gelingen der gestellten Aufgabe bei. Keiner ist wichtiger oder unwichtiger als ein anderer. Unsere Forderung an das ideale Kabel in Erinnerung, sollte es uns nur interessieren, in welcher Weise das Zusammenwirken aller Leitungsparameter das Amplituden- und Laufzeitverhalten eines Kabels prägt. Die Leitungstheorie liefert die Antwort.

Alles unter einem Hut

Sieht man das zu übertragende Signal als Aneinanderreihung von Momentanwerten der Spannung am Eingang des Kabels, dann ist der ganze komplexe Kabelfluß in einem Faktor zusammengefaßt vorstellbar, dessen Multiplikation mit der Eingangsspannung Ue die Ausgangsspannung Ua ergibt:

Formel Ua = Ue - e^1

Neuer Ansatzpunkt ist der "Wellenzustand des Kabels"

Im Übertragungsfaktor e~Yl steckt der komplette, jedoch vom Betriebszustand isolierte Kabeleinfluß, das heißt ohne Berücksichtigung des rückwirkenden Einflusses vor- oder nachgeschalteter Komponenten. Der Fachmann spricht vom Wellenzustand des Kabels: Man betrachtet einen Teilausschnitt einer fortschreitenden Welle, so als ob das Kabel nach beiden Seiten unendlich verlängert wäre. Die Exponentialfunktion bringt zum Ausdruck, daß Spannung und Strom innerhalb eines Kabels mit zunehmender Entfernung vom Eingang nicht linear, sondern exponentiell (gemäß der natürlichen Degression: zuerst schnell und dann immer langsamer) abnehmen. Das negative Vorzeichen des Exponenten verkörpert die Abnahme, und l (für Länge) besagt, daß die Gesamtwirkung von der Kabellänge l abhängt.

y wird als Übertragungskoeffizient bezeichnet, der wegen des l in obiger Formel wie die Leitungsparameter auf die Einheitslänge bezogen ist. Er ist eine für jedes Kabel charakteristische komplexe Größe und läßt sich in Real-und Imaginärteil zerlegen:

formel Y = a + iß

Die Schlüsselkriterien des Übertragungsverhaltens

In diesem komplexen Ausdruck ist a der Real- oder Wirkanteil, der die Signaldämpfung verursacht, ß als Imaginär- oder Blindanteil ist schuld an der Phasenverschiebung, j stellt die imaginäre Einheit dar.

Und schon haben wir unsere lange gesuchten Schlüsselkriterien für das Übertragungsverhalten eines Kabels gefunden, a ist der Dämpfungsbelag, und ß wird Phasenbelag genannt - beide auf die Einheitslänge bezogen, a kennzeichnet die relative Amplitudenabnahme je Einheitslänge und kann sich zwischen 0 und 1 bewegen. Es gilt

formel

Der Dämpfungsbelag - detailliert

Bei gängigen Kabeln ist der Dämpfungsbelag im NF-Bereich frequenzabhängig und nimmt mit der Frequenz zu. Mit der Kenntnis von a läßt sich nun der Amplitudenfrequenzgang mittels 20log(l-a) in dB/m aufzeichnen (Abb. 11). Der Phasenbelag ß hat die Benennung Radian/m und drückt die frequenzabhängige Phasendrehung pro Einheitslänge aus. Aus dem Phasenbelag berechnet sich die Geschwindigkeit, mit der sich ein Phasenzustand fortplanzt, die Phasengeschwindigkeit, zu v = (2jrf)/ß. Hieraus wiederum folgt mit
t=l/v=ß/(2jrf) die frequenzabhängige Laufzeit je Einheitslänge (Abb. 12).
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Nun stellt sich nur noch die Frage, wie man aus den bekannten Leitungsparametern a und ß erhält. Die Differentialrechnung liefert die Ergebnisse:
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nur noch Formeln

Doch das alles reicht immer noch nicht (theoretisch)

Erinnert sei nochmals daran, daß a und ß das Wellenverhalten eines Kabels beschreiben und daher auch Wellenparameter heißen. Sie alleine geben jedoch noch keinen letztendlichen Aufschluß über die Signalübertragung zwischen zwei Komponenten, die mit diesem Kabel zu verbinden sind. Ein weiterer Wellenparameter muß noch hinzugezogen und die ein- und ausgangsseitigen Geräte berücksichtigt werden.

Literatur:
K. Küpfmüller: Theoretische Elektrotechnik, Springer Verlag 1968
W. Schubert: Nachrichtenkabel und Übertragungssyteme, Siemens AG
G. Ulbricht: Netzwerkanalyse, Netzwerksynthese und Leitungstheorie,

In der nächsten Technikbeilage:
Die verzerrungsfreie Leitung
Korrigierte Kabel
Wellenwiderstand
Anpassung

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